Résoudre une équation de degré 4 dans C - Corrigé

Énoncé

1. Montrer que, pour tout \(z \in \mathbb{C},\) \(\)
\(z^4-10z^3+38z^2-90z+261 = 0 \iff (z^2+9)(z^2-10z+29) =0.\)

2. En utilisant la question précédente, résoudre l'équation 
\(z^4-10z^3+38z^2-90z+261=0\)  dans \(\mathbb{C}.\)

3. Déterminer la valeur du produit, puis celle de la somme, des quatre solutions obtenues.

Solution

1. On développe :  \((z^2+9)(z^2-10z+29)\) .

2.  \(S= \left\{ 3i \;; -3i \;; 5-2i \;; 5+2i \right\}\) .

3. La somme des quatre solutions vaut \(10\) , le produit vaut \(261\) .